Cauchy-Schwarz不等式的证明

Cauchy-Schwarz不等式的表述为:存在非零向量$\vec x , \vec y \in \mathbb{R}^n$使得 $|\vec x \cdot \vec y| \leq \| \vec x\| \| \vec y\| $,当且仅当$\vec x = c \vec y $ 时等号成立。

证明如下:

首先构造一个关于$t$的函数 $$ p(t)=\|t\vec y-\vec x\|^2 \geq 0 .$$ 根据公式 $\|\vec v\|^2 = \vec v\cdot \vec v$, 上式可改写为 $$ p(t)=(t\vec y-\vec x)\cdot (t\vec y-\vec x) .$$ 将其展开,有: $$ p(t)=t\vec y\cdot t\vec y- \vec x\cdot t\vec y -t\vec y\cdot\vec x +\vec x\cdot \vec x .$$ 接着,有 $$ p(t)=(\vec y \cdot \vec y)t^2 - 2(\vec x \cdot \vec y)t +\vec x\cdot \vec x \geq 0 .$$ 假设$a=(\vec y \cdot \vec y), b=2(\vec x \cdot \vec y), c=\vec x\cdot \vec x, $ 那么 $p(t)=at^2-bt+c $ 对于任意的$t$都大于等于0. 因此有, $$p(\frac{b}{2a})=a(\frac{b}{2a})^2-b\frac{b}{2a}+c \geq 0. $$ 化简得, $$4ac \geq b^2.$$ 代入原来的$x$,$y$, 有: $$4 (\|\vec y\|^2 \|\vec x\|^2) \geq (2(\vec x\cdot \vec y))^2.$$ 即 $$\|\vec y\|^2 \|\vec x\|^2 \geq (\vec x\cdot \vec y)^2 .$$ 对两边同时开方,有 $$\|\vec y\| \|\vec x\| \geq |\vec x\cdot \vec y| .$$

当$\vec x=c\vec y$, 有 $$|\vec x\cdot\vec y|=|c\vec y\cdot\vec y|=|c||\vec y\cdot\vec y|=|c| \|\vec y\|^2$$ $$=|c|\|\vec y\| \|\vec y\| =\|c\vec y\| \| \vec y\| = \|\vec x\| \| \vec y\|. $$

Reference:

https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces/dot-cross-products/v/proof-of-the-cauchy-schwarz-inequality